Persamaan dan tidaksamaan eksponensial

Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial ditandai dengan dua fungsi bilangan berpangkat yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). Misalnya terdapat sebuah bilangan dengan pangkat sebuah fungsi linear dan hasilnya yaitu 32x – 1 = 1. Persamaan tersebut merupakan contoh persamaan eksponensial. Hasil dari persamaan tersebut adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial pada contoh di atas adalah x = ½. Susbtitusi nilai x = ½ ke dalam persamaan akan menghasilkan 30 = 1. Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial. 

Daftar sifat – sifat persamaan eksponensial diberikan seperti berikut.

• a0 = 1
• a–1 = 1/a
• am × an = am + n
• am : an = am – n
• (am)n = am × n
• (am × an)p = apm + pn

Selain mengetahui sifat – sifat eksponensial seperti yang diberikan pada bahasan di atas, kita juga perlu mengetahui sifat fungsi eksponen. Beberapa sifat fungsi eksponensial diberikan pada daftar berikut.

• Jika af(x) = ap maka f(x) = p
• Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x)

Sifat – sifat pada eksponensial dan sifat fungsi eksponensial akan membantu kita dalam menyelesaikan soal persamaan eksponensial. Sekarang perhatikan kembali contoh yang diberikan di awal, yaitu 32x – 1 = 1.

Proses mendapatkan nilai x = 1/2 dapat dilihat pada contoh cara menyelesaikan persamaan eksponensial berikut.

32x – 1 = 1
32x – 1 = 30
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 1/2

Pertidaksamaan Eksponensial

Cara menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial hampir sama dengan penyelesaian persamaan eksponensial. Karakteristik dari pertidaksamaan eksponensial dengan dua fungsi bilangan berpangkat yang dihubungkan tanda pertidaksamaan. Bentuk tanda pertidaksamaan tersebut dapat berupa lebih besar (>), lebih besar/sama dengan (≥), lebih kecil (<), atau lebih kecil/sama dengan (≤). Contoh pertidaksamaan eksponensial adalah 32x – 1 < 1.

Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan tersebut, kita juga perlu mengenali beberapa sifat yang berlaku pada pertidaksamaan eksponensial.

• Untuk a ≥ 1:
  af(x) > ag(x) → f(x) > g(x)
  af(x) ≥ ag(x) → f(x) ≥ g(x)
  af(x) < ag(x) → f(x) < g(x)
  af(x) ≤ ag(x) → f(x) ≤ g(x)

• Untuk 0 < a < 1:
  af(x) > ag(x) → f(x) < g(x)
  af(x) ≥ ag(x) → f(x) ≤ g(x)
  af(x) < ag(x) → f(x) > g(x)
  af(x) ≤ ag(x) → f(x) ≥ g(x)

Perhatikan contoh menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial 32x – 1 < 1:

32x – 1 < 1
32x – 1 < 30
2x – 1 < 0
2x < 1
x < 1/2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x – 1 < 1 adalah x < 1/2

Perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan eksponensial terdapat pada hasil akhirnya. Pada persamaan eksponensial hasi akhir penyelesaiannya berupa suatu bilangan. Sedangkan hasil akhir dari pertidaksamaan eksponensial hasil akhirnya berupa suatu daerah yang memenuhi pertidaksamaan

Contoh 1 – Soal Persamaan Eksponensial

Pembahasan:

Mencari nilai x yang memenuhi dari persamaan eksponensial yang diberikan pada soal.

Diketahui bahwa nilai p > q, maka nilai p = 1 dan q = – 1/3. Jadi, nilai p + 6q = 1 + 6(– 1/3)=1 – 2 = –1.

Jawaban: E

Contoh 2 – Soal Pertidaksamaan Eksponensial

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

adalah ….
A. { x | –2 ≤ x ≤ 10/3}
B. { x | –10/3 ≤ x ≤ 2}
C. { x | x ≤ –10/3 atau x ≥ 2}
D. { x | x ≤ –2 atau x ≥ 10/3}
E. { x | –10/3 ≤ x ≤ –2 }

Pembahasan:

Menyelesaikan pertidaksamaan:

Pembuat nol: 3x2 + 4x – 20 = 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat:

3x2 + 4x – 20 = 0
(3x + 10)(x – 2) = 0
3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0
x = –10/3  atau  x = 2

Menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan:

Dengan melakukan uji daerah pada garis bilangan akan diperoleh daerah yang menghasilkan nilai positif dan negatif. Selanjutnya dapat diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan pada soal adalah x ≤ –10/3  atau  x ≥ 2.

Jawaban : C

Contoh 3 – Variasi Soal Persamaan Eksponensial dan Persamaan Kuadrat

Akar – akar persamaan 2⋅34x – 20⋅32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan:

Misalkan: p = 32x

2⋅34x – 20⋅32x +18 = 0
2(32x)2 – 20 (32x) + 18 =  0
2p2 – 20p + 18 = 0
p2 – 10p + 9 =  0
(p – 9)(p – 1) = 0
p = 9 atau p = 1

Mencari nilai x untuk p = 9:

p = 9
32x = 32
2x = 2
x = 2/2 = 1

Mencari nilai x untuk p = 1:

p = 1
32x = 30
2x = 0
x = 0/2 = 0

Jadi, nilai x1 + x2  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B

Riana ika kumala

X IPA 4

Kel:3

Sekian dan terimakasih